\[
\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}+a\mathrm{i}}}})^b=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{({\frac{1}{2}}+a\mathrm{i})b}}}+D
\]
と置く。
このとき
\[
\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}+a\mathrm{i}}}}
\]
を自明でない零点と仮定する。
これをX^b=Y+Dと置く。
\[
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}+a\mathrm{i}}}})^b&=&\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{({\frac{1}{2}}+a\mathrm{i})b}}}+D \\
X^b &=& Y+D
\end{eqnarray}
\]
ここで、xを自明でない零点とする。同時にYをも自明でない零点とすると、
D=0である。
ここでX^bを展開すると、Y+D=Yとなる。
このとき、bが実数の範囲において、一般多項定理からΣ(n=1,∞)1/((n^1/2+ai)^b)を差し引いたものであるDがb=1を除き必ず実数を取る
よって、b≠1のときXを自明でない零点とすると、Yは自明でない零点を取り得ない。
ただし、bが複素数の範囲ではこれは自明ではない。
ここで、Xを自明な零点と置かない。
このとき、X^cは零点ではなく、Dも零点では無い。
X^b=Y+D
D≠0より、X^b-Y≠0であり、X^b≠Y
よってX^bとYはbが実数であるならば同値を取り得ない
これによりX^b=Dと置いた時、Yは自明でない零点を取る。
以上を踏まえると
Yが零点を取るためには、Xが零点を取る必要がある。
これは前提により、明らかに矛盾である。
よって自明でない零点は存在の確認されている実部の1/2上にしか存在しない。
よってリーマン予想は成り立つ。
後はこの考え方で解析接続を行い
\[
\zeta(n)^b \neq \zeta(nb)
\]
となることを示せばよい。
最初に定義による一般二項展開式から
\[
(P+PQ)^{\frac{m}{n}}-(P^{\frac{m}{n}}+(PQ)^{\frac{m}{n}}) \neq 0
\]
となることを示す。初めにニュートンの一般二項展開によって式を移行する。(一般二項展開についてはアーベルの証明があるらしい。)
\[
\begin{eqnarray}
(P+PQ)^{\frac{m}{n}}&=&P^{\frac{m}{n}}+{\frac{m}{n}}AQ+{\frac{m-n}{2n}}BQ+{\frac{m-2n}{3n}}CQ+\ldots \\
(P+PQ)^{\frac{m}{n}}&=&P^{\frac{m}{n}}+{\frac{m}{n}}AQ-{\frac{n-m}{2n}}BQ-{\frac{2n-m}{3n}}CQ-\ldots \\
(P+PQ)^{\frac{m}{n}}-(P^{\frac{m}{n}}+PQ^{\frac{m}{n}})&=&{\frac{m}{n}}AQ-{\frac{n-m}{2n}}BQ-{\frac{2n-m}{3n}}CQ-\ldots \\
0&=&{\frac{m}{n}}AQ-{\frac{n-m}{2n}}BQ-{\frac{2n-m}{3n}}CQ\ldots \\
{\frac{m}{n}}AQ&=&{\frac{n-m}{2n}}BQ+{\frac{2n-m}{3n}}CQ+\ldots+PQ^{\frac{m}{n}}\\
{\frac{m}{n}}(A+{\frac{1}{2}}B+{\frac{1}{3}}C+\ldots)&=&{\frac{1}{2}}B+{\frac{2}{3}}C+\ldots+PQ^{\frac{m}{n}}\\
\end{eqnarray}
\]
三つの不等式に分け、全ての実数を考える。
\[
{\frac{m}{n}}\geq2のときQ \leq P \leq 1より
\]
\[
{\frac{m}{n}}(A+{\frac{1}{2}}B+{\frac{1}{3}}C+\ldots) > {\frac{1}{2}}B+{\frac{2}{3}}C+\ldots+PQ^{\frac{m}{n}}
\]
\[
2>{\frac{m}{n}}>1のときQ \leq P \leq 1より
\]
\[
{\frac{m}{n}}(A+{\frac{1}{2}}B+{\frac{1}{3}}C+\ldots) > {\frac{1}{2}}B+{\frac{2}{3}}C+\ldots+PQ^{\frac{m}{n}}
\]
\[
1>{\frac{m}{n}}のときQ \leq P \leq 1より
\]
\[
{\frac{m}{n}}(A+{\frac{1}{2}}B+{\frac{1}{3}}C+\ldots) > {\frac{1}{2}}B+{\frac{2}{3}}C+\ldots+PQ^{\frac{m}{n}}
\]
\[
よって背理法により
\]
\[
(P+PQ)^{\frac{m}{n}}-(P^{\frac{m}{n}}+(PQ)^{\frac{m}{n}})\neq0
\]
これで定義によるゼータ関数ではリーマン予想が成り立つことが言えた。
解析接続を行う場合については後日別ページでUPする。
2016/4/30修正。